===== 因数分解と2次関数の最大・最小 練習問題 =====

===== 【例題】因数分解 =====

**例題**  
次の式を因数分解せよ。  
\( x^2 + 7x + 10 \)

**解説**  
  * 積が10、和が7になる2数を探す → 2 と 5  
  * したがって、
  \( x^2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5) \)

**答**  
\( (x + 2)(x + 5) \)

----

**次は練習問題へ！**  
→ 「【A】因数分解（基礎〜応用）」の(1)〜(5)に取り組もう。

----


==== 【A】因数分解（基礎〜応用） ====

(1)  \( x^2 + 5x + 6 \) を因数分解せよ。\\
(2)  \( x^2 - 9 \) を因数分解せよ。\\
(3)  \( 2x^2 + 7x + 3 \) を因数分解せよ。\\
(4)  \( x^2 - 2x - 15 \) を因数分解せよ。\\
(5)  \( 4x^2 - 12x + 9 \) を因数分解せよ。\\

----

===== 【例題】平方完成と最大・最小 =====

**例題**  
2次関数 \( y = x^2 - 6x + 5 \) の最小値を求めよ。

**解説**  
平方完成を行う：  
\( y = (x^2 - 6x) + 5 = (x - 3)^2 - 4 \)  \\
上に開く放物線（a>0）なので、最小値は頂点の y 座標 −4。

**答**  
最小値 −4（x = 3 のとき）

----

**次は練習問題へ！**  
→ 「【B】2次関数の最大・最小値」(6)〜(10)に挑戦。

----

==== 【B】2次関数の最大・最小値 ====

(6)  \( y = x^2 - 4x + 3 \) の最小値を求めよ。\\
(7)  \( y = -x^2 + 6x - 5 \) の最大値を求めよ。\\
(8)  \( y = 2x^2 + 4x + 1 \) の最小値を求めよ。\\
(9)  \( y = -3x^2 + 12x - 5 \) の最大値を求めよ。\\
(10) \( y = x^2 - 2ax + a^2 + 1 \) の最小値を求めよ。\\

----

===== 【例題】範囲付きの最大・最小値 =====

**例題**  
\( y = -x^2 + 4x + 1 \) のとき、  
\( 0 \le x \le 3 \) の範囲での最大値と最小値を求めよ。

**解説**  
平方完成：  
\( y = -(x - 2)^2 + 5 \)  \\
下に開く放物線。頂点(2,5)が範囲内にあるので、  \\
最大値は 5（x=2）。  \\
両端を調べる：  \\
x=0 → y=1,　x=3 → y=4。  \\
最小値は 1（x=0）。\\

**答**  
最大値 5（x=2），最小値 1（x=0）

----

**次は練習問題へ！**  
→ 「【C】範囲付きの最大・最小値」(11)〜(13)にチャレンジ！



==== 【C】範囲付きの最大・最小値 ====

(11) \( y = x^2 - 4x + 5 \) のとき、\( 0 \leq x \leq 5 \) の範囲での最小値と最大値を求めよ。\\
(12) \( y = -x^2 + 4x + 1 \) のとき、\( 0 \leq x \leq 6 \) の範囲での最大値と最小値を求めよ。\\
(13) \( y = 2x^2 - 8x + 3 \) のとき、\( 1 \leq x \leq 4 \) の範囲での最小値と最大値を求めよ。\\

----

**※ヒント**：平方完成を使って頂点の座標を求めると、最大・最小値が見つけやすい。