====== ゲーム数学演習（等加速度・重力・摩擦）======

出題範囲：等加速度運動 / 重力 / 摩擦  
全10問（60分想定）  
ゲーム内の座標・速度・加速度として扱うバージョン

===== A. 基礎（ゲーム座標版） =====

=== 問1：速度の更新（等加速度） ===
キャラクターの x 方向速度が次の条件で変化する。

  * 初期速度：$v = 3\ \mathrm{m/s}$
  * 加速度：$a = 2\ \mathrm{m/s^2}$

使用式：
$$ v(t) = v_0 + a t $$

5 秒後の速度 $v$ を求めよ。


=== 問2：座標の更新（位置計算） ===
キャラクターの x 座標を物理式で更新する。

  * 初期位置：$x = 0\ \mathrm{m}$
  * 初期速度：$v = 3\ \mathrm{m/s}$
  * 加速度：$a = 2\ \mathrm{m/s^2}$

使用式：
$$ x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 $$

5 秒後の x 座標を求めよ。


=== 問3：落下による到達時間 ===
高さ $y = 20\ \mathrm{m}$ から物体を静かに落下させる。  
重力加速度 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

落下の式：
$$ y(t) = y_0 - \frac{1}{2} g t^2 $$

着地条件：
$$ y(t) = 0 $$

この条件を満たす時間 $t$ を求めよ。


=== 問4：落下中の鉛直速度 ===
初期鉛直速度が 0 の物体を 2 秒落下させる。

使用式：
$$ v(t) = - g t $$

2 秒後の鉛直速度を求めよ。



===== B. 摩擦（ゲーム座標版） =====

=== 問5：静止摩擦による「動かない判定」 ===
質量 $m = 3\ \mathrm{kg}$ の箱に右向きに $10\ \mathrm{N}$ の力を加える。  
静止摩擦係数 $\mu_s = 0.5$、重力加速度 $g = 9.8$ とする。

法線力：
$$ N = m g $$

最大静止摩擦力：
$$ F_{s,\max} = \mu_s N $$

(1) 最大静止摩擦力を求めよ。  
(2) 箱が動くかどうかを判定せよ。


=== 問6：動摩擦による加速度 ===
動摩擦係数 $\mu_k = 0.3$ の床上で箱が滑っている。  
右向きに $10\ \mathrm{N}$ の力を加え続ける。

動摩擦力：
$$ F_k = \mu_k N $$

加速度：
$$ a = \frac{F - F_k}{m} $$

箱の x 方向加速度を求めよ。


=== 問7：毎フレームの速度減衰（ゲーム実装風） ===
摩擦を速度減衰として以下のように扱う。

<code>
v = v * (1 - μ)
</code>

初速度 $v_0 = 10$、摩擦係数 $\mu = 0.1$ のとき、  
3 フレーム後の速度を求めよ。



===== C. 応用（ゲーム実装との接続） =====

=== 問8：スライド停止までの距離 ===
初速度 $v_0 = 8\ \mathrm{m/s}$ のキャラクターが、  
動摩擦係数 $\mu_k = 0.4$ の床で滑る。

摩擦による一定減速度：
$$ a = - \mu_k g $$

停止距離：
$$ x = \frac{v_0^2}{2 \mu_k g} $$

停止までに進む距離を求めよ。


=== 問9：ジャンプの最高到達高度 ===
初期上向き速度 $v_{y0} = 6\ \mathrm{m/s}$  
重力加速度 $g = 9.8$

最高到達点は $v = 0$ となる瞬間。

高さ：
$$ h = \frac{v_{y0}^2}{2 g} $$

最高 y 座標を求めよ。


=== 問10：ゲームループでの座標更新 ===
物体の座標を以下の式で更新する。

<code>
v = v + a * dt
x = x + v * dt
</code>

初期速度 $v_0 = 0$  
加速度 $a = 4$  
時間刻み $dt = 0.016$（60FPS）

(1) 5 フレーム後の速度  
(2) 5 フレーム後の座標  
(3) この方法が連続時間と誤差が出る理由（離散近似のため）