====== 解答例 ======

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===== 問題1 =====

\[
T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & -1 & 1 \end{bmatrix}
\]

答え：

\[
(6, 2)
\]

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===== 問題2 =====

\[
S = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\]

答え：

\[
(6, 6)
\]

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===== 問題3 =====

\[
R = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\]

答え：

\[
(0, 1)
\]

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===== 問題4 =====

\[
S = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\]

\[
T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 5 & -1 & 1 \end{bmatrix}
\]

\[
M = S T = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 5 & -1 & 1 \end{bmatrix}
\]

答え：

\[
(7, 5)
\]

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===== 問題5 =====

Aは、平行移動してから拡大するので、

\[
M_A = T S
\]

\[
M_A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\]

答え：

\[
(8, 2)
\]

Bは、拡大してから平行移動するので、

\[
M_B = S T
\]

\[
M_B = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\]

答え：

\[
(5, 2)
\]

平行移動の前に拡大するか、後に拡大するかで、移動量も拡大されるかどうかが変わる。

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===== 問題6 =====

\[
T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 1 & 1 \end{bmatrix}
\]

答え：

\[
(5, 0, 4)
\]

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===== 問題7 =====

\[
S = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\]

答え：

\[
(2, 6, 12)
\]

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===== 問題8 =====

\[
R_y = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\]

答え：

\[
(0, 0, -1)
\]

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===== 問題9 =====

\[
S = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\]

\[
R_y = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\]

\[
T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}
\]

\[
M = S R_y T = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}
\]

答え：

\[
(9, 5, 0)
\]

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===== 問題10 =====

Aは、平行移動してから回転するので、

\[
M_A = T R_y
\]

\[
M_A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -5 & 1 \end{bmatrix}
\]

答え：

\[
(0, 0, -6)
\]

Bは、回転してから平行移動するので、

\[
M_B = R_y T
\]

\[
M_B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\]

答え：

\[
(5, 0, -1)
\]

平行移動してから回転すると、移動後の位置全体が原点の周りを回転する。  
回転してから平行移動すると、向きだけを変えてから指定方向に移動する。

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====== 確認ポイント ======

===== DirectX11形式の合成順 =====

点を行ベクトルで扱う場合、

\[
P' = P M
\]

である。

そのため、変換順が

  - 拡大縮小
  - 回転
  - 平行移動

なら、

\[
M = S R T
\]

になる。

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===== よくある間違い =====

列ベクトル形式の感覚で、

\[
M = T R S
\]

と書くと、DirectX11形式では変換順が逆になってしまう。

このプリントでは、常に

\[
P' = P M
\]

として計算する。