幾何学的変換

幾何学的変換は、図形を構成する点や頂点の座標を変えることで、図形の位置、向き、大きさ、形を変える処理である。代表例には平行移動、拡大・縮小、回転、鏡映、スキューなどがある。CGでは形状を配置したり変形したりするために使われ、画像処理でも画像中の形の位置合わせや変形に関係する。

図形をコンピュータで扱うとき、図形全体を「面のかたまり」として直接動かすのではなく、頂点や端点などの代表的な点の座標を変換して扱うことが多い。たとえば三角形なら、3つの頂点の座標を変換すれば、三角形全体の位置や向きを変えられる。これが幾何学的変換の基本的な考え方である。

幾何学的変換には、位置だけを変える平行移動、大きさを変える拡大・縮小、中心のまわりに回す回転、対称な位置へ移す鏡映、斜めに歪ませるスキューなどがある。さらに、複数の変換を組み合わせると合成変換になる。検定では、単に変換名を覚えるだけでなく、「何が変わり、何が保たれるか」を見分けることが重要である。

CG制作では、モデルを移動、回転、拡大縮小してシーンを構成する。形状データを作った後、それをどこに置くか、どの向きにするか、どの大きさで表示するかは幾何学的変換で決まる。また、同じ基本形状に変換を加えることで、複雑な模様や繰り返し形状を作ることもできる。

ゲーム開発では、キャラクターの移動、弾の発射方向、UIの拡大縮小、カメラの回転など、多くの処理が幾何学的変換として考えられる。ゲームエンジンでは、座標や行列を用いてこれらの変換を毎フレーム計算する。変換の意味を理解していると、表示位置のずれや回転方向の間違いをデバッグしやすい。

プレイヤーのx座標を増やせば右方向への平行移動になる。キャラクターを向きたい方向へ回す処理は回転として考えられる。UIボタンを選択時だけ大きくする処理は拡大として整理できる。このように、画面上で起こる動きや変形は、基本変換の組み合わせとして理解できる。

幾何学的変換は、座標を変えることで図形を操作する処理である。個別の基本変換と、複数変換を組み合わせる合成変換を区別する。2次元アフィン変換は、幾何学的変換のうち直線性や平行性を保つ変換をまとめて扱う概念として理解するとよい。

概要