例題 次の式を因数分解せよ。 \( x^2 + 7x + 10 \)

解説

• 積が10、和が7になる2数を探す → 2 と 5
• したがって、

\( x^2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5) \)

答 \( (x + 2)(x + 5) \)

次は練習問題へ！ → 「【A】因数分解（基礎〜応用）」の(1)〜(5)に取り組もう。

(1) \( x^2 + 5x + 6 \) を因数分解せよ。
(2) \( x^2 - 9 \) を因数分解せよ。
(3) \( 2x^2 + 7x + 3 \) を因数分解せよ。
(4) \( x^2 - 2x - 15 \) を因数分解せよ。
(5) \( 4x^2 - 12x + 9 \) を因数分解せよ。

例題 2次関数 \( y = x^2 - 6x + 5 \) の最小値を求めよ。

解説 平方完成を行う： \( y = (x^2 - 6x) + 5 = (x - 3)^2 - 4 \)
上に開く放物線（a>0）なので、最小値は頂点の y 座標 −4。

答 最小値 −4（x = 3 のとき）

次は練習問題へ！ → 「【B】2次関数の最大・最小値」(6)〜(10)に挑戦。

(6) \( y = x^2 - 4x + 3 \) の最小値を求めよ。
(7) \( y = -x^2 + 6x - 5 \) の最大値を求めよ。
(8) \( y = 2x^2 + 4x + 1 \) の最小値を求めよ。
(9) \( y = -3x^2 + 12x - 5 \) の最大値を求めよ。
(10) \( y = x^2 - 2ax + a^2 + 1 \) の最小値を求めよ。

例題 \( y = -x^2 + 4x + 1 \) のとき、 \( 0 \le x \le 3 \) の範囲での最大値と最小値を求めよ。

解説 平方完成： \( y = -(x - 2)^2 + 5 \)
下に開く放物線。頂点(2,5)が範囲内にあるので、
最大値は 5（x=2）。
両端を調べる：
x=0 → y=1,　x=3 → y=4。
最小値は 1（x=0）。

答 最大値 5（x=2），最小値 1（x=0）

次は練習問題へ！ → 「【C】範囲付きの最大・最小値」(11)〜(13)にチャレンジ！

(11) \( y = x^2 - 4x + 5 \) のとき、\( 0 \leq x \leq 5 \) の範囲での最小値と最大値を求めよ。
(12) \( y = -x^2 + 4x + 1 \) のとき、\( 0 \leq x \leq 6 \) の範囲での最大値と最小値を求めよ。
(13) \( y = 2x^2 - 8x + 3 \) のとき、\( 1 \leq x \leq 4 \) の範囲での最小値と最大値を求めよ。

※ヒント：平方完成を使って頂点の座標を求めると、最大・最小値が見つけやすい。